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【午晟智造】工程力学常用公式

2018-12-26 11:34:23      点击:

轴向拉伸与压缩

正应力 σ=FN/A

正应变 ε=Δl/l   (无量纲)

胡克定律 Δl=FNl/EA        EA为抗拉(压)刚度

σ=Eε  E为弹性模量

泊松比   ν=【ε’/ε】   横向比纵向

刚度条件:Δl=FNl/EA <=[Δl] 或 δ<=[δ]

          先计算每段的轴力,每段的Δl加起来即为总的Δl

          注意节点是位移   P151

拉压超静定:

1按照约束的性质画出杆件或节点的受力图

2根据静力平衡列出所有独立的方程

3画出杆件或杆系节点的变形-位移图

4根据变形几何关系图建立变形几何关系方程,建立补充方程

5将胡可定律带入变形几何方程,/得到解题需要的补充方程

6独立方程与补充方程联立,求的所有的约束力

剪切

1剪切胡克定律 τ=Gγ   G~MPa为剪切弹性模量,γ为切应变(无量纲)

2 G=E/2(1+ν)  ν泊松比

3剪切与挤压实例

  校核铆钉的剪切强度

  单剪(两层板)τ=Fs/As =F/A      F为一个方向的拉力

  双剪(三层板)τ=Fs/As =F/nA     n整块板上所有的铆钉

  校核铆钉的挤压强度

  挤压  σc=Fc/Ac

        σc=Fc/nAc=F/ntd    n为对称轴一侧的铆钉数

  校核板(主板、盖板)的抗拉强度

  σ=F/A=F/t(b-nd)<<[σ]   n 为危险截面上的铆钉数

扭转:

1外力偶矩:T=9550 Nk / n ( Nk~kw,n~r/min)

2扭矩 Mn = T  (Mn~N*m) 判断方向,右手螺旋定则,向外为正,内为负

3扭矩图

4切应变、剪切角γ= θ*ρ(θ为单位扭转角

5切应力:τρ=G*γρ=Gρθ

扭转角公式:dψ=Mdx/GIp

6θ=Mn/G*Ip    刚度校核公式   

     Ip~mm4  极惯性矩, 与截面形状有关,GIp 抗扭刚度,θ~rad/m

7τmax=Mn/Wp=Mnρ/Ip 强度校核公式  

     Wp~mm3抗扭截面模量,与截面形状有关

8 Ip 和Wp 的计算:

     实心圆截面: Wp = ПD3/16             Ip = ПD4/32

     空心圆截面:Wp = ПD3(1-α4)/16     Ip = ПD4(1-α4)/32

     薄壁圆截面:Wp = 2Пr02t  r0=D0/2=D/2      Ip = 2Пr03t

扭转角 φ= Mn*l/G*Ip  (l为杆长)  φ~rad/m

10 自由扭转

   截面周边的切应力方向与周边平行,角点出切应力为0

   τmax=Mn/αhb2     长边中点处

   θ=Mn/βGhb3     b为短边,h为长边,αβ为相关系数

   无论是扭转强度,还是扭转刚度,圆形截面比正方形截面要好。

   狭长矩形:τmax=3Mn/hb     θ=3Mn/hGb3          φ=3Mnl/hGb3

      闭口薄壁杆 τmax=3Mn/2Ωδ   Ω为-截面中心线所围截面积 δ为壁厚

              Φ=Mnls/4GΩ2δ    s为截面中线的长度

              θ=MnS/4GΩ2δ

   等厚度开口薄壁杆 τ=3Mn/hδ2    φ=3Mnl/Ghδ3   (计算时展开成矩形)

   在抗扭性能方面,闭口薄壁杆远比开口薄壁杆好

 

 

弯曲:

静矩:Sz=∫ydA   Sy=∫zdA   (+-)

形心坐标:yc=Sz/A   zc=Sy/A  (结合求形心坐标的方法,组合法、负值法)(+-)

惯性矩:Iz=∫y2dA  Iy=∫z2dA   (+)      (对某轴)

惯性积:Iyz=∫yzdA       (+-)

极惯性矩:Ip=∫ρ2dA=Iy+Iz   (+)      (对某两坐标轴构成的平面)

平行移轴公式:

移动后的:Iz1=Iz+b2A

          Iy1=Iy+b2A

          Iyz1=Iyz+abA

弯曲正应力

1剪力方向:左截面向上为正,右截面向下为正,

            左半部向上,则正,右半部向下,则负

2弯矩方向:下陷两面皆正,上拱两面皆负,

            左半部顺时针,则正,右半部逆时针,则负

3剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图

4分布载荷、剪力、弯矩之间的关系

  铰链处弯矩为0

5叠加原理做弯矩图

6σ=Ey/ρ   1/ρ=M/EIz          EI抗弯刚度,Iz对中性轴的惯性矩

 σ=My/I=M/Wz           W抗弯截面模量

7弯曲正应力强度条件

  塑性:σmax=Mmax/Wz<=[σ]

  脆性:σtmax<=[σt]   σcmax<=[σc]      (一拉一压,画图表示)

 强度校核做题步骤:1.画剪力图和弯矩图

                   2.确定最大正弯矩和最大负弯矩所在的截面

                   3.求截面的形心主轴z和惯性矩Iz

                   4.求σ,和题设做比较       σ=My/I=M/Wz

弯曲切应力

矩形:

τ=FsSz*/bIz  (剪力,所求切应力点一下面积对中性轴的静矩,横截面的宽度,横截面对中性轴的惯性矩)    y=0,即中性轴处最大 max=3Fs/2A

工字型截面:

τ=FsSz*/tIz    (t为腹板宽度    max=Fs/th0(腹板长度)

圆截面:

τ(y)=FsSz*(y)/b(y)Iz      (沿y轴方向)  max=4Fs/3A

强度条件:

     τ=FsSz*/bIz  《=[τ]          

弯曲中心:

规律:1具有两个对称轴或反对称轴的截面弯曲中心与形心重合。

      2具有一个对称轴的截面,弯曲中心必在其对称轴上

      3两狭长矩形组合成的截面,弯曲中心为两矩形中线的交点。

只平面弯曲而不扭转的条件:横向力与形心主轴平行且过弯曲中心。

提高弯曲强度的措施:

1 减小Mmax:合理安排载荷、均匀分布;减小跨度或改为超静定梁

2提高Wz:改变材料,增大Iz

3使用变截面梁:Wz=M(x)/[σ]   (等强度梁)

弯曲变形

挠度和转角

转角方程:EIy”=-M(x)  

          EIθ=EIy’=∫-M(x)dx+C

挠曲线方程:EIy=∫[∫-M(x)dx]dx + Cx + D

确定积分常数:边界条件:x=0 时,y1=0  θ1=0

        变形连续条件:y1’=y2’,y1=y2,得到C1、C2关系,再结合边界条件

梁的刚度校核:ymax/l<=[y/l]  θmax<=[θ]

简单超静定梁的解法:

1选定多余约束,用多余约束力(一般是一对儿)来表示,将其变为静定梁

2列出在多余约束力处的变形(y和θ),确定原约束力之间的关系,将此式带入关系式(即补充方程),求出多余约束力

3根据静力平衡条件解出其他的力

4进行梁的刚度和强度校核

 

组合变形

拉伸压缩与弯曲组合

σ=σN +σM =FN/A +- My/I(轴向正应力+-弯曲正应力)

σMax/min=FN/A +- Mmax/Wz    (边缘处)

σMax/min=FN/A +- Mmax/Wz <=[σ]

除了需要叠加之外,其他与前面的知识点一样

偏心拉压

σ=FN/A       σ=Mzy/Iz               σ =Myz/Iy

σ=σ +σ +σ

σ=F(                     

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